Operações com funções

Para definir ou caracterizar uma função deve indicar-se o domínio, o conjunto de chegada e um processo analítico que permita determinar a imagem de cada objecto:

- Soma f + g

    Df+g = Df ∧ Dg

    (f + g)(x) = f(x) + g(x), ∀x ∈Df+g

    f + g : Df+g -> \R

               x     f(x) + g(x)

                  ->

- Diferença f - g 

  

    Df-g = Df ∧ Dg

    (f - g)(x) = f(x) - g(x), ∀x ∈ Df-g

    f - g : Df-g -> \R

               x     f(x) - g(x)

                  ->

- Produto f x g 

  

    Dfxg = Df ∧ Dg

  

    (f x g)(x) = f(x) x g(x), ∀x ∈ Dfxg

    f x g : Dfxg -> \R

               x     f(x) x g(x)

                  ->

- Quociente f / g 

   

   Df/g = Df ∧ Dg ∧ {x ∈ \R : g(x) ≠ 0}

   (f / g)(x) = f(x) / g(x), ∀x ∈ Df/g

    f / g : Df/g -> \R

              x     f(x) / g(x)

                 ->

- Composição f ₒ g

A função composta é o resultado de uma nova operação entre funções, a composição. O símbolo desta operação é "ₒ".

t    f (t)    g  [ f(t) ]   =   t    g  [ f(t) ]

  ->       ->                      ->

Dadas duas funções f e g, reais de variável real, em que os domínios são respectivamente Df e Dg, chama-se função composta de g com f à função f ₒ g tal que:

• Df ₒ g = {x ∈ \R : x ∈ Dg ∧ g(x) ∈ Df}
• (f ₒ g)(x) = f [ g(t) ], ∀x ∈ Df ₒ g

Nota: A composição de funções não goza de propriedade comutativa.
         Dadas duas funções f e g se fₒg = gₒf diz-se que as funções são permutáveis.