Estudo de uma Fracção Racional

Uma função racional do tipo f(x) = P(x) / Q(x) caracteriza-se:

- Domínio 

Conjunto dos números reais que não anulam o denominador Q(x).

Em linguagem simbólica Df = {x ∈\R : Q(x) ≠ 0}

- Contradomínio 

f(x) = 0 ⇔ Q(x) = 0 ∧ P(x) ≠ 0

- Zeros

f(x) = 0 ⇔ P(x) = 0 ∧ Q(x) ≠ 0

- Sinal

f(x) > 0 ⇔ x ∈ (...)

f(x) < 0 ⇔ x ∈ (...)

- Sentido de variação

f é crescente e/ou decrescente em (...)

- Paridade

Par - simetria ao eixo das ordenadas, Oy: f(x) = f(-x)

Ímpar - simetria à origem do referencial:   f(x) = - f(-x)

- Injectividade:

Injectiva - trançando rectas horizontais, estas não intersectam-se em mais de um ponto.

Não Injectiva - trançando rectas horizontais, estas intersectam-se em mais de um ponto.

- Continuidade

Contínua - é possível desenhar o gráfico sem tirar o lápis da folha.

Não Contínua - não é possível desenhar o gráfico sem tirar o lápis da folha.

- Extremos relativos

Transformações (Funções)

• Translação Vertical: g(x) = f(x) + c

Associada ao vector de coordenadas (0,c)

• Translação Horizontal: h(x) = f(x - c)

Associada ao vector de coordenadas (c,0)
c>0 para a direita
c<0 para a esquerda

• Translação Horizontal e Vertical: i(x) = f(x - c) + d

Associada ao vector de coordenadas (c,d)

• Simetria em relação ao eixo das abcissas: j(x) = - f(x)

• Simetria em relação ao eixo das ordenadas (Função par*): l(x) = f(-x)

• Dilatação \ Compressão na Vertical: m(x) = a f(x)

a>1 Dilatação
0<a<1 Compressão

Notas: Se a<0 verifica-se uma dilatação ou compressão vertical e uma simetria em relação ao eixo das abcissas. Os zeros mantêm-se.

• Dilatação \ Compressão na Horizontal: n(x) = f(ax)

a>1 Compressão
0<a<1 Dilatação

Nota: Se a<0 verifica-se uma dilatação ou compressão vertical e uma simetria em relação ao eixo das ordenadas. Os extremos mantêm-se.

• Módulo: o(x) = |fx)|

| h(x)   se x ≥ 0 

f(x) =| 

| - h(x) se x < 0

Notas: Parte não negativa mantém-se

    Parte negativa - simetria em relação ao eixo das abcissas

* Função Ímpar: f(x) = - f(-x) Simetria à origem do referencial

Igualdade de Funções Racionais

Definição:

Duas funções, f e g, são iguais ou idênticas se tiverem:

• Igual conjunto de chegada

• Igual domínio (Df = Dg)

• f(x) = g(x), qualquer que seja o x ϵ Df (ou Dg)

Ângulos

Ângulos entre:

• Duas rectas: 

• Concorrentes 

Determinar a V. G. (Verdadeira Grandeza) 

• Enviesadas

Traçar uma recta paralela a uma das rectas e concorrente com a outra. 
Determinar a V. G. (Verdadeira Grandeza) 

• Uma recta e um plano

• Método do ângulo complementar:

1. Conduzir, por um ponto qualquer da recta, uma recta - p - ortogonal ao plano;
2. Determinar o ângulo formado entre as duas rectas;
3. O ângulo entre a recta dada e a recta ortogonal é o ângulo complementar do ângulo entre a recta dada e o plano dado.
   

• Dois planos 

Por um ponto qualquer exterior aos dois planos, fazemos passar duas rectas perpendiculares ou ortogonais. O ângulo entre as duas rectas é igual ao ângulo entre os dois planos.

Método dos planos paralelos à base

1. Conduzir um plano auxiliar, qualquer, paralelo ao plano da base do cone.
2. Determinar a figura de secção que o plano auxiliar produz na superfície lateral do sólido - a secção será necessariamente, uma circunferência.
3. Determinar a recta - i - de intersecção do plano secante  (o plano dado) com o plano auxiliar.
4. Determinar os pontos de intersecção da recta i com a circunferência que são, imediatamente, dois pontos da secção que o plano produz no sólido.

Secção produzida num sólido através de um plano oblíquo ou de rampa

Quando a secção produzida num sólido é através de um plano oblíquo ou de rampa:

• Utiliza-se o método geral das intersecções;

• Começando pelos planos da base e seguindo por cada uma das arestas laterais; 

• Essas rectas i, vão intersectar ou não as bases e as arestas, resultando daí os pontos da secção.

Tipos de Rectas

Rectas Paralelas ao Plano Horizontal de Projecção ()

• Fronto-Horizontal

• Horizontal

• De topo

Rectas Paralelas ao Plano Frontal de Projecção ()

• Fronto-Horizontal

• Frontal

• Vertical

 

Rectas Oblíquas

• Oblíquo - Oblíquo aos dois planos de projecção e ao eixo x;

• De Perfil - Oblíquo aos dois planos de projecção e perpendicular ao eixo x.

Método do Triângulo do Rebatimento

Triângulo do rebatimento é o método mais favorável quando se pretende rebater apenas um ponto ou duas rectas concorrentes nesse ponto.

1. Fazer passar um plano auxiliar projectante, frontal ou horizontal, que intersecta as duas rectas segundo dois pontos; 
2. Esses pontos já definem a charneira;
3. Pelo ponto exterior à charneira, comum às duas rectas, faz-se passar uma recta paralela e outra perpendicular à charneira;
4. Na paralela, marca-se a distância do ponto ao plano auxiliar;
5. Esse ponto da paralela, o ponto P (dado) e o ponto de intersecção com a charneira, definem um triângulo - triângulo do rebatimento;
6. Com a ponta do compasso no ponto de intersecção da perpendicular com a charneira, abertura do tamanho da hipotenusa, traça-se um arco de circunferência, que intersecta a perpendicular, no ponto P rebatido.

Intersecções de rectas com planos

Da intersecção de uma recta com um plano vai resultar um ponto - I.

• Se o plano for projectante (frontal, horizontal, vertical, de topo ou de perfil), o ponto I vai surgir de imediato, quando a recta intersectar o plano.

• Se o plano for oblíquo, temos que recorrer ao método geral de intersecções.

 

Método geral de intersecções de rectas com planos (oblíquos) 

1. Faz-se passar pela recta um plano auxiliar projectante, de topo ou vertical;
2. Determina-se a recta - i - de intersecção desse plano auxiliar com o plano dado; 
3. Onde esta recta - i - intersectar a recta dada, obtém-se o ponto - I - de intersecção da recta com o plano dado.

Pontos Notáveis de uma recta

Existem 4 pontos notáveis (importantes) de uma recta.

Sempre que uma recta intersecta um plano de projecção, esta vai mudar de diedro.

• Se intersectar o plano frontal de projecção esse ponto da recta vai ter afastamento nulo e vai chamar-se ponto F - traço frontal.

• Se intersectar o plano horizontal de projecção esse ponto da recta vai ter cota nula e vai chamar-se ponto H - traço horizontal.

Além destes pontos a recta tem outros 2 pontos notáveis, quando intersecta o β¹/₃ e o β²/₄.

•  Se intersectar o β¹/₃ esse ponto da recta vai ter cota igual ao afastamento com sinais iguais e vai chamar-se ponto Q (desenha-se uma recta auxiliar passando por F₂ e H₁, onde cruza o eixo x é Q₀, depois conduz-se a linha de chamada do ponto que estão sobre as homónimas da reta).

• Se intersectar o β²/₄ esse ponto da recta vai ter cota igual ao afastamento com sinais contrários e vai chamar-se ponto I (onde as projeções da reta se cruzam, I₁ coincidente com I₂).

Condição para que uma recta pertença a um plano

Para que uma recta pertença a um plano tem que ter os seus traços (F e H) sobre os traços do mesmo nome (f e h) do plano.

• r ϵ α  Se  F₂ ϵ fα  e  H₁ ϵ hα

Condição para que um ponto pertença a uma recta

Para que um ponto pertença a um plano tem que ter as projecções (1 - Horizontal e 2 - Frontal) sobre as projecções do mesmo nome (1 - Horizontal e 2 - Frontal) da recta.

• A ϵ a  Se  A₂ ϵ a₂  e  A₁ ϵ a₁

Planos tangentes a uma superfície cónica, passando por um ponto exterior

1. Conduzir, pelos pontos P (ponto dado, exterior ao cone) e V (vértice), uma recta - i - de intersecção dos dois planos;
2. Determinar o ponto de intersecção dessa recta com o plano da base - ponto I;
3. Conduzir por I as rectas tangentes à base do cone - t' e t'' (pontos de tangência destas rectas com a base - T' e T'' - são os pontos em que os planos - θ₁ e θ₂ - são tangentes à base);
4. Determinar as geratrizes de contacto (ou de tangência) que contêm T' e T''- g' e g'', respectivamente;
5. Os planos tangentes - θ₁ e θ₂ - ficam definidos por 3 rectas: 

• θ₁ está definido por i, t’ e g’ 
• θ₂ está definido por i’’, t’’ e g’’

Secções produzidas em cones através de um plano que passa no vértice

Planos secantes não contendo o vértice da superfície

• Se o plano for paralelo ao plano da base, corta todas as geratrizes da superfície e a secção é uma figura semelhante à directriz (circunferência). 

• Se o plano for paralelo a uma geratriz da superfície, o plano secante corta todas as geratrizes excepto uma (a geratriz à qual o plano é paralelo) - a secção é uma parábola. 

• Se o plano for paralelo a duas geratrizes da superfície, corta todas as geratrizes excepto duas e a secção é uma hipérbole. 

• Se o plano secante não é paralelo a nenhuma geratriz, corta todas as geratrizes, mas a figura de secção não é semelhante à directriz, a secção produzida é uma elipse. *Se o plano secante intersectar a base do cone, a secção será apenas parte da elipse.

Alfabeto Grego

Operações com funções

Para definir ou caracterizar uma função deve indicar-se o domínio, o conjunto de chegada e um processo analítico que permita determinar a imagem de cada objecto:

- Soma f + g

    Df+g = Df ∧ Dg

    (f + g)(x) = f(x) + g(x), ∀x ∈Df+g

    f + g : Df+g -> \R

               x     f(x) + g(x)

                  ->

- Diferença f - g 

  

    Df-g = Df ∧ Dg

    (f - g)(x) = f(x) - g(x), ∀x ∈ Df-g

    f - g : Df-g -> \R

               x     f(x) - g(x)

                  ->

- Produto f x g 

  

    Dfxg = Df ∧ Dg

  

    (f x g)(x) = f(x) x g(x), ∀x ∈ Dfxg

    f x g : Dfxg -> \R

               x     f(x) x g(x)

                  ->

- Quociente f / g 

   

   Df/g = Df ∧ Dg ∧ {x ∈ \R : g(x) ≠ 0}

   (f / g)(x) = f(x) / g(x), ∀x ∈ Df/g

    f / g : Df/g -> \R

              x     f(x) / g(x)

                 ->

- Composição f ₒ g

A função composta é o resultado de uma nova operação entre funções, a composição. O símbolo desta operação é "ₒ".

t    f (t)    g  [ f(t) ]   =   t    g  [ f(t) ]

  ->       ->                      ->

Dadas duas funções f e g, reais de variável real, em que os domínios são respectivamente Df e Dg, chama-se função composta de g com f à função f ₒ g tal que:

• Df ₒ g = {x ∈ \R : x ∈ Dg ∧ g(x) ∈ Df}
• (f ₒ g)(x) = f [ g(t) ], ∀x ∈ Df ₒ g

Nota: A composição de funções não goza de propriedade comutativa.
         Dadas duas funções f e g se fₒg = gₒf diz-se que as funções são permutáveis.

Paralelismos

Paralelismo entre:

•  Duas Rectas

Rectas paralelas têm as projecções homónimas paralelas entre si.

a//b  Se  a₁//b₁  e  a₂//b₂

Caso Particular:

• Rectas de Perfil:

Duas rectas de perfil são paralelas se forem complanares (definem um plano). Quaisquer duas rectas concorrentes com duas rectas de perfil paralelas são complanares entre si (podem ser rectas concorrentes ou paralelas entre si) e complanares com as duas rectas de perfil - as 4 rectas existem num plano definido pelas rectas de perfil.

• Uma  Recta e um Plano

Uma recta é paralela a um plano se for paralela a uma recta do plano.

a//π  Se  a//b  e  b ∈ π

• Um Plano e uma Recta

Para que um plano seja paralelo a uma recta tem que conter uma recta paralela à recta dada.

 π//a  Se  π ∈ b  e  b//a

• Dois Planos

Planos paralelos têm os traços homónimos paralelos entre si.

Caso particular:

• Planos de rampa:

Um plano de rampa é paralelo a outro se contiver uma recta paralela a outra recta do outro plano.

Assimptotas do Gráfico de uma Função Racional

Cada um dos gráficos anteriores tem duas assimptotas.

- Vertical:

A recta de equação x = a, com a ϵ \R, é assimptota vertical do gráfico de uma função se, e só se, 

lim f(x) = +∞  e/ou   lim f(x) = -∞

  x -> a+                     x -> a-

lim f(x) = +∞  e   lim f(x) = -∞   ;   lim g(x) = +∞  e   lim g(x) = +∞  ;   lim g(x) = +∞

  x -> a+                x -> a-               x -> a-                x -> a+                   x -> a+

Analiticamente:
Seja f uma função racional definida por f(x) = P(x) / Q(x), onde A recta de equação x = a, com a ϵ \R, é assimptota vertical do gráfico de uma função, porque Q(a) = 0 e P(a) ≠ 0 (é zero do polinómio denominador e não é zero do polinómio numerador).

Nota: Se há assimptota vertical não há assimptota oblíqua e vice-versa.

- Horizontal:

A recta de equação y = b, com a ϵ \R, é assimptota horizontal do gráfico de uma função se, e só se, 

lim f(x) = b    e/ou  lim  f(x) = b

  x -> +∞                x -> -∞

lim f(x) = a  e   lim f(x) = b   ;   lim g(x) = a  e   lim g(x) = a    ;   lim g(x) = a
x -> +∞             x -> -∞                x -> -∞              x -> +∞                  x -> +∞

Analiticamente:

Seja f uma função racional definida por:

                                               f(x) =

• Se n<m (o grau do polinómio numerador for menor do que o grau do polinómio denominador) a recta de equação y = o é a assimptota horizontal do gráfico de f.

• Se n=m (o grau do polinómio numerador for igual ao grau do polinómio denominador) a recta de equação y = an / am é a assimptota horizontal do gráfico de f.

• Se n>m (o grau do polinómio numerador for maior do que o grau do polinómio denominador) o gráfico de f não tem assimptota horizontal.

Notas: O gráfico de uma função tem no máximo duas assimptotas horizontais, uma que acompanha o gráfico quando x tende para + ∞ e outra quando x tende para - ∞.

           Não existe assimptotas horizontais quando o domínio da função é limitado.

- Oblíqua

A recta de equação y = a x + b é assimptota oblíqua do gráfico de uma função se, e só se, 

lim [f(x)-(ax+b)] = 0    e/ou  lim  [f(x)-(ax+b)] = 0

     x -> +∞                             x -> -∞

Analiticamente: 
Seja f uma função racional definida por:

                                               f(x) = 

- Se o grau do numerador é maior 1 unidade que o grau do denominador e se estes não têm factores em comum, então a função pode ser escrita, através da divisão de polinómios, na forma f(x) = a x + b + [P(x) / Q(x)]  e existe assimptota oblíqua, a x + b.

Notas: Se há assimptota oblíqua não há assimptota vertical e vice-versa.

           O gráfico de uma função tem no máximo 2 assimptotas oblíquas.

Notas  finais: Uma assimptota vertical nunca intersecta o gráfico, mas uma assimptota horizontal pode intersectar.

Tipos de Funções Racionais

Função Racional:

• Polinomial: 

Representada por um polinómio, todas as funções polinomiais têm domínio \R. 

• Fraccionária:

Representada pelo quociente entre dois polinómios, sendo o polinómio divisor diferente do polinómio nulo (0).

Uma função racional do tipo f(x) = P(x) / Q(x) chama-se fracção racional.