Assimptotas do Gráfico de uma Função Racional

Cada um dos gráficos anteriores tem duas assimptotas.

- Vertical:

A recta de equação x = a, com a ϵ \R, é assimptota vertical do gráfico de uma função se, e só se, 

lim f(x) = +∞  e/ou   lim f(x) = -∞

  x -> a+                     x -> a-

lim f(x) = +∞  e   lim f(x) = -∞   ;   lim g(x) = +∞  e   lim g(x) = +∞  ;   lim g(x) = +∞

  x -> a+                x -> a-               x -> a-                x -> a+                   x -> a+

Analiticamente:
Seja f uma função racional definida por f(x) = P(x) / Q(x), onde A recta de equação x = a, com a ϵ \R, é assimptota vertical do gráfico de uma função, porque Q(a) = 0 e P(a) ≠ 0 (é zero do polinómio denominador e não é zero do polinómio numerador).

Nota: Se há assimptota vertical não há assimptota oblíqua e vice-versa.

- Horizontal:

A recta de equação y = b, com a ϵ \R, é assimptota horizontal do gráfico de uma função se, e só se, 

lim f(x) = b    e/ou  lim  f(x) = b

  x -> +∞                x -> -∞

lim f(x) = a  e   lim f(x) = b   ;   lim g(x) = a  e   lim g(x) = a    ;   lim g(x) = a
x -> +∞             x -> -∞                x -> -∞              x -> +∞                  x -> +∞

Analiticamente:

Seja f uma função racional definida por:

                                               f(x) =

• Se n<m (o grau do polinómio numerador for menor do que o grau do polinómio denominador) a recta de equação y = o é a assimptota horizontal do gráfico de f.

• Se n=m (o grau do polinómio numerador for igual ao grau do polinómio denominador) a recta de equação y = an / am é a assimptota horizontal do gráfico de f.

• Se n>m (o grau do polinómio numerador for maior do que o grau do polinómio denominador) o gráfico de f não tem assimptota horizontal.

Notas: O gráfico de uma função tem no máximo duas assimptotas horizontais, uma que acompanha o gráfico quando x tende para + ∞ e outra quando x tende para - ∞.

           Não existe assimptotas horizontais quando o domínio da função é limitado.

- Oblíqua

A recta de equação y = a x + b é assimptota oblíqua do gráfico de uma função se, e só se, 

lim [f(x)-(ax+b)] = 0    e/ou  lim  [f(x)-(ax+b)] = 0

     x -> +∞                             x -> -∞

Analiticamente: 
Seja f uma função racional definida por:

                                               f(x) = 

- Se o grau do numerador é maior 1 unidade que o grau do denominador e se estes não têm factores em comum, então a função pode ser escrita, através da divisão de polinómios, na forma f(x) = a x + b + [P(x) / Q(x)]  e existe assimptota oblíqua, a x + b.

Notas: Se há assimptota oblíqua não há assimptota vertical e vice-versa.

           O gráfico de uma função tem no máximo 2 assimptotas oblíquas.

Notas  finais: Uma assimptota vertical nunca intersecta o gráfico, mas uma assimptota horizontal pode intersectar.