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sábado, 26 de março de 2011

Derivada da Função Módulo

A derivada da função módulo ou valor absoluto f(x) = |x|
| h(x)   se x ≥ 0 
f(x) =| 
| - h(x) se x < 0

| h(x)   se x > 0 
f'(x) =| 
| - h(x) se x < 0
Para x = 0 não existe derivada, porque é um ponto anguloso, diz-se que a função f' não está definida.

Nota: A derivada de uma função que envolve módulos, só será obtida após a decomposição dos módulos em ramos da função.

Derivada e Extremos de uma função

A existência ou não de extremos de uma função está relacionada com a variação de sinal da função derivada.

Seja c a abcissa de um ponto onde f é contínua tal que f'(c) = 0 ou f'(c) não existe.
  • Se f ' mudar de positiva para negativa em c, então f(c) é um máximo relativo
  • Se f ' mudar de negativa para positiva em c, então f(c) é um míniimo relativo
  • Se f '(x) > 0 ou f '(x) < 0 para todo o x de um intervalo, excepto para x = c, então f(c) NÃO é um extremo relativo de f
Num intervalo aberto ]a,b[, os extremos relativos podem surgir:
  • nos zeros da função derivada, desde que haja mudança de sinal
  • nos pontos onde não há derivada, desde que as derivadas laterais tenham sinais contrários.

Sinal da Derivada e Sentido de Variação

Estudar o sinal da derivada e o sentido de variação de uma função:
  1. Domínio da função: Df = (...)
  2. Função derivada da função f: f'(x) = (...)
  3. Domínio da função derivada: Df' = (...) 
  4. Zeros da função derivada: f'(x) = 0
  5. Quadro de variação, onde se colocam os zeros da derivada e as abcissas dos pontos onde a função não está definida.
  • Se a derivada for positiva, f'(x) > 0, ∀x ]a,b[ , então f é estritamente crescente em ]a,b[
  • Se a derivada for negativa, f'(x) < 0, ∀x ]a,b[ , então f é estritamente decrescente em ]a,b[
  • Se a derivada for nula, f'(x) = 0, ∀x ]a,b[ , então f é constante em ]a,b 
     7. Intervalos de Monotonia: f é crescente em (...), f é decrescente em (...), f é constante em (...)

Nota: Estudar o sentido de variação de uma função é determinar os intervalos em que a função é crescente, em que é decrescente e em que é constante, ou seja, é determinar os intervalos de monotonia da função.

Derivadas de Funções Racionais

A derivada da:
  • função afim f(x) = m x + b é a função f'(x) = m 
Em particular
A derivada da:
  •  função constante f(x) = k, k ∈ |R, é a função f'(x) = 0 - a derivada  é nula
  •  f(x) = m x é a função f'(x) = m
  • função quadrática f(x) = ax² + bx + c, a 0 é a função f'(x) = 2ax + b 
Em particular
  • A derivada de f(x) = ax², a 0 é a função f'(x) = 2ax
  • função cúbica f(x) = ax³ + bx² + cx + d, a 0 é a função f'(x) = 3ax² + bx + c 

    Em particular:  
  •  A derivada de f(x) = ax³, a 0 é a função f'(x) = 3ax²
  •  soma de duas funções é igual à soma das derivadas de cada uma das funções.
  • função racional do tipo f(x) = a / x, a 0 é a função f'(x) = - (a / x²)

Taxa de Varição de uma função em x = x₀

No caso geral, dada uma função f, real de variável real, em x = x₀ é o número real, caso exista, para que tende o quociente (f(x₀ + h) - f(x)) / h, quando h tende para zero, e representa-se por f'(x) ou (df / dx) x=x

Assim,
f'(x) = lim->0 ((f(x₀ + h) - f(x)) / h

A f'(x) também se chama derivada da função f no ponto de abcissa x₀.


A derivada f'(x) do ponto de abcissa x = x é o declive m da recta tangente ao gráfico de f.

sexta-feira, 4 de março de 2011

Variação e Taxa Média de Variação de uma Função

Variação de uma Função

A variação de uma função f num intervalo [a , b], a < b, é igual a f(b) - f(a)

Taxa Média de Variação de uma Função

A taxa média de variação (t.m.v.) de uma função f num intervalo [a , b], a < b, é igual à variação da função (f(b) - f(a)) a dividir pela variação da variável nesse intervalo (b-a) ou seja:

t.m.v.[a,b] = (f(b) - f(a)) / (b-a)

A taxa de variação média traduz a rapidez de variação da função num certo intervalo.
Se a função em estudo relaciona o espaço com o tempo, a taxa média de variação corresponde ao que correntemente se designa por velocidade média

Significado geométrico da Taxa de Variação de uma Função f num intervalo [a,b]

α representa a inclinação da recta s que contém os pontos A e B do gráfico de f.


mAB = tg α = (f(b) - f(a)) / (b-a) = t.m.v.[a,b] 

A taxa média de variação de uma função f num intervalo [a , b] representa geometricamente o declive da recta AB, secante ao gráfico da função f, que passa pelos pontos A(a, f(a)) e B(b, f(b)).
  • Se f é estritamente crescente em [a,b], então t.m.v.[a,b] > 0
  • Se f é estritamente decrescente em [a,b], então t.m.v.[a,b] < 0
  • Se f é constante em [a,b], então t.m.v.[a,b] = 0 
As afirmações recíprocas são falsas.

quinta-feira, 3 de março de 2011

Função Inversa e suas Assimptotas

Sendo f e f -1, funções inversas uma da outra, então elas satisfazem a seguinte condição:

Se f(a) = b, então f -1(b) = a 

Se o ponto de coordenadas (a,b) pertence ao gráfico de f, então o ponto de coordenadas (b,a) pertence ao gráfico da função de f -1.

Os pontos são simétricos à bissectriz dos quadrantes ímpares

  • Df -1 = D'f 
  • D'f -1 = Df 
  • y = f(x) x = f -1(y), ∀x ∈ Df, ∀y ∈ Df-1

Uma função admite inversa se e só se for injectiva

  •  Assimptotas da função f e da sua inversa
 Há uma troca de assimptotas. 
  • Se o gráfico de uma função tiver uma assimptota vertical x = a, o gráfico da sua inversa terá uma assimptota horizontal y = a.
  • Se o gráfico de uma função tiver uma assimptota horizontal y = b, o gráfico da sua inversa terá uma assimptota vertical x = b.
Nota: Não confundir f -1 (função inversa de f) com 1/f (função inverso matemática de f).

  • Definição de Restrição 
Sendo A um conjunto contido no domínio de uma função g, diz-se que uma função f é a restrição ao conjunto A, se e só se:
  • Df C A
  • f(x) = g(x), ∀x ∈ A

Função Irracional

Definição: 

É uma função definida por expressões com radicais em que a variável independente figura em radicando.

Exs:
f(x) = 1 + √(3x)
g(x) = 3 + √(x / 2)
h(x) = (x)
i(x) = ∛(x) - 2

Não são funções irracionais:
j(x) = 1 + [x / √(5)]
l(x) = √(2) x² + √(3) x + 2

sábado, 26 de fevereiro de 2011

Estudo de uma Fracção Racional

Uma função racional do tipo f(x) = P(x) / Q(x) caracteriza-se:

- Domínio 
Conjunto dos números reais que não anulam o denominador Q(x).
Em linguagem simbólica Df = {x \R : Q(x) 0}

- Contradomínio 
f(x) = 0 Q(x) = 0 P(x) 0

- Zeros
f(x) = 0 P(x) = 0 Q(x) 0

- Sinal
f(x) > 0 ⇔ x ∈ (...)
f(x) < 0 ⇔ x ∈ (...)

- Sentido de variação
f é crescente e/ou decrescente em (...)

- Paridade
Par - simetria ao eixo das ordenadas, Oy: f(x) = f(-x)
Ímpar - simetria à origem do referencial:   f(x) = - f(-x)

- Injectividade:
Injectiva - trançando rectas horizontais, estas não intersectam-se em mais de um ponto.
Não Injectiva - trançando rectas horizontais, estas intersectam-se em mais de um ponto.

- Continuidade
Contínua - é possível desenhar o gráfico sem tirar o lápis da folha.
Não Contínua - não é possível desenhar o gráfico sem tirar o lápis da folha.

- Extremos relativos

Igualdade de Funções Racionais


Definição:

Duas funções, f e g, são iguais ou idênticas se tiverem:
  • Igual conjunto de chegada
  • Igual domínio (Df = Dg)
  • f(x) = g(x), qualquer que seja o x ϵ Df (ou Dg)

domingo, 20 de fevereiro de 2011

Operações com funções

Para definir ou caracterizar uma função deve indicar-se o domínio, o conjunto de chegada e um processo analítico que permita determinar a imagem de cada objecto:

- Soma f + g

    Df+g = Df ∧ Dg

    (f + g)(x) = f(x) + g(x), ∀x ∈Df+g

    f + g : Df+g -> \R
               x     f(x) + g(x)
                  ->
- Diferença f - g 
  
    Df-g = Df ∧ Dg

    (f - g)(x) = f(x) - g(x), ∀x ∈ Df-g

    f - g : Df-g -> \R
               x     f(x) - g(x)
                  ->

- Produto f x g 
  
    Dfxg = Df ∧ Dg
  
    (f x g)(x) = f(x) x g(x), ∀x ∈ Dfxg

    f x g : Dfxg -> \R
               x     f(x) x g(x)
                  ->

- Quociente f / g 
   
   Df/g = Df ∧ Dg ∧ {x ∈ \R : g(x) ≠ 0}

   (f / g)(x) = f(x) / g(x), ∀x ∈ Df/g

    f / g : Df/g -> \R
              x     f(x) / g(x)
                 ->

- Composição f g

A função composta é o resultado de uma nova operação entre funções, a composição. O símbolo desta operação é "ₒ".

t    f (t)    g  [ f(t) ]   =   t    g  [ f(t) ]
  ->       ->                      ->

Dadas duas funções f e g, reais de variável real, em que os domínios são respectivamente Df e Dg, chama-se função composta de g com f à função f ₒ g tal que:
  • Df ₒ g = {x  \R : x Dg ∧ g(x)  Df}
  • (f ₒ g)(x) = f [ g(t) ], ∀x ∈ Df ₒ g


Nota: A composição de funções não goza de propriedade comutativa.
         Dadas duas funções f e g se fₒg = gₒf diz-se que as funções são permutáveis.

sábado, 19 de fevereiro de 2011

Assimptotas do Gráfico de uma Função Racional


Cada um dos gráficos anteriores tem duas assimptotas.

- Vertical:

A recta de equação x = a, com a ϵ \R, é assimptota vertical do gráfico de uma função se, e só se, 
lim f(x) = +  e/ou   lim f(x) = -
  x -> a+                     x -> a-

lim f(x) = +  e   lim f(x) = -∞   ;   lim g(x) = +  e   lim g(x) = +∞  ;   lim g(x) = +
  x -> a+                x -> a-               x -> a-                x -> a+                   x -> a+

Analiticamente:
Seja f uma função racional definida por f(x) = P(x) / Q(x), onde A recta de equação x = a, com a ϵ \R, é assimptota vertical do gráfico de uma função, porque Q(a) = 0 e P(a) 0zero do polinómio denominador e não é zero do polinómio numerador).

Nota: Se assimptota vertical não há assimptota oblíqua e vice-versa.


- Horizontal:

A recta de equação y = b, com a ϵ \R, é assimptota horizontal do gráfico de uma função se, e só se, 
lim f(x) = b    e/ou  lim  f(x) = b
  x -> +                x -> -
lim f(x) = a  e   lim f(x) = b   ;   lim g(x) = a  e   lim g(x) = a    ;   lim g(x) = a
x -> +             x -> -                x -> -              x -> +                  x -> +

Analiticamente:
Seja f uma função racional definida por:
                                               f(x) =

  • Se n<m (o grau do polinómio numerador for menor do que o grau do polinómio denominador) a recta de equação y = o é a assimptota horizontal do gráfico de f.
  • Se n=m (o grau do polinómio numerador for igual ao grau do polinómio denominador) a recta de equação y = an / am é a assimptota horizontal do gráfico de f.
  • Se n>m (o grau do polinómio numerador for maior do que o grau do polinómio denominador) o gráfico de f não tem assimptota horizontal.
Notas: O gráfico de uma função tem no máximo duas assimptotas horizontais, uma que acompanha o gráfico quando x tende para + ∞ e outra quando x tende para - ∞.
           Não existe assimptotas horizontais quando o domínio da função é limitado.


- Oblíqua

A recta de equação y = a x + b é assimptota oblíqua do gráfico de uma função se, e só se, 
lim [f(x)-(ax+b)] = 0    e/ou  lim  [f(x)-(ax+b)] = 0
     x -> +                             x -> -



Analiticamente: 
Seja f uma função racional definida por:
                                               f(x) = 

- Se o grau do numerador é maior 1 unidade que o grau do denominador e se estes não têm factores em comum, então a função pode ser escrita, através da divisão de polinómios, na forma f(x) = a x + b + [P(x) / Q(x)]  e existe assimptota oblíqua, a x + b.

Notas: Se há assimptota oblíqua não há assimptota vertical e vice-versa.
           O gráfico de uma função tem no máximo 2 assimptotas oblíquas.

Notas  finais: Uma assimptota vertical nunca intersecta o gráfico, mas uma assimptota horizontal pode intersectar.

Tipos de Funções Racionais

Função Racional:
  • Polinomial
Representada por um polinómio, todas as funções polinomiais têm domínio \R. 
  • Fraccionária:
Representada pelo quociente entre dois polinómios, sendo o polinómio divisor diferente do polinómio nulo (0).

Uma função racional do tipo f(x) = P(x) / Q(x) chama-se fracção racional.