Ângulo entre um Plano Oblíquo e o Plano de Projeção (Horizontal ou Frontal)

1. Identificar a recta de interseção dos 2 planos (vai coincidir com um dos traços do plano oblíquo consoante for o plano de projeção);
2. Conduzir um plano projetante (de topo ou vertical), ortogonal à recta de interseção dos dois planos;
3. Determinar as rectas de interseção do plano auxiliar com os 2 planos dados;
4. O ângulo entre as rectas de interseção é o ângulo entre o plano dado e o plano de projeção.

Nota: Os traços frontal e horizontal de um plano oblíquo são rectas frontal e horizontal, respectivamente.

Síntese Axonometrias

Axonometria Ortogonal:

• Isometria
• Dimetria
• Trimetria

Numa Axonometria Ortogonal:

• o plano axonométrico é oblíquo aos três planos coordenados;
• as retas projetantes são ortogonais ao plano axonométrico.

Axonometria Oblíqua:

• Militar ou Planométrica
• Cavaleira

Numa Axonometria Oblíqua:

• o plano axonométrico é paralelo ou coincidente a um dos três planos coordenados;
• o plano axonométrico é ortogonal aos um dos eixos coordenados;
• as retas projetantes são oblíquas ao plano axonométrico.

Linha Separatriz Luz/Sombra de um Sólido Sem Vértice (Prisma ou Cilindro)

1. Por um ponto, exterior ao desenho, fazem-se passar 2 retas: uma paralela à direcção luminosa (l) e outra paralela à direcção das geratrizes (g);
2. Determinar a reta I, definida por 2 pontos, um de intersecção de l com o plano da base do sólido (L) e de g com o plano da base do sólido (G);
3. As retas tangentes à base são paralelas a i.

Linha Separatriz Luz/Sombra de um Sólido com Vértice (Pirâmide ou Cone)

1. Passar pelo vértice a direcção luminosa (l);
2. Determinar o ponto I, de intersecção de l com o plano da base do sólido;
3. Por I, traçar as tangentes à base. Os pontos de tangência da base determinam os primeiros pontos da linha separatriz luz/sombra.

Planos Tangentes a uma Superfície Cilíndrica, passando por um Ponto Exterior

1. Conduzir pelo ponto P, uma recta paralela às geratrizes da superfície - essa recta é a recta i, que é a recta de interseção dos dois planos;
2. Determinar o ponto de intersecção dessa recta com o plano da base - ponto I;
3. Conduzir por I as rectas tangentes à base do cone - t' e t'' (pontos de tangência destas rectas com a base - T' e T'' - são os pontos em que os planos - θ₁ e θ₂ - são tangentes à base);
4. Determinar as geratrizes de contacto (ou de tangência) que contêm T' e T''- g' e g'', respectivamente;
5. Os planos tangentes - θ₁ e θ₂ - ficam definidos por 3 rectas: 

• θ₁ está definido por i, t’ e g’ 
• θ₂ está definido por i’’, t’’ e g’’

Determinar a Altura de um Sólido com Bases contidas num Plano Passante

1. Determinar a recta p, que passa por um dos vértices e é ortogonal ao plano da base;
2. Por essa recta, faz-se passar um plano projectante (perfil);
3. Da interseção deste plano com o plano da base resulta uma recta i, também ela de perfil, passante;
4. Passando pelo vértice da base rebatida, uma recta perpendicular à recta i rebatida, obtém-se a recta p rebatida e sobre esta marca-se a altura.

Distâncias

Distâncias entre:

As distâncias são sempre medidas na perpendicular.

• Dois pontos 

Achar a verdadeira grandeza.

Nos dois seguintes casos a distância entre os dois pontos já está em verdadeira grandeza:

• Se os pontos têm o mesmo afastamento, o segmento de recta é frontal e a distância entre os pontos projecta-se em V. G. (Verdadeira Grandeza) no P. F. P. (Plano Frontal de Projecção). 

• Se os pontos têm a mesma cota, o segmento de recta é horizontal e a distância entre os pontos projecta-se em V. G. (Verdadeira Grandeza) no P. H. P. (Plano Horizontal de Projecção).

• Um ponto e um plano 

1. Faz-se passar pelo ponto P uma recta ortogonal ao plano; 
2. Essa recta vai intersectar o plano num ponto - I (se o plano for projectante, a determinação do ponto I é directa; se o plano for oblíquo recorre-se ao método geral de intersecções); 
3. A verdadeira grandeza do segmento PI é a distância do ponto ao plano.   

• Um ponto e uma recta

1. Conduzido pelo ponto, um plano ortogonal à recta dada (faz-se passar uma recta frontal ou horizontal pelo ponto dado, perpendicular à recta dada);
2. Determinar o ponto, I, de intersecção da recta dada com o plano (se o plano for projectante, a determinação do ponto I é directa; se o plano for oblíquo recorre-se ao método geral de intersecções); 
3. A distância entre os dois pontos é a distância do ponto I à recta.

• Excepção: Rectas de perfil

1. Pelo ponto conduz-se um plano ortogonal à recta (não é possível determinar os seus traços);
2. Faz-se passar uma recta fronto-horizontal pelo ponto, que pertence ao plano;
3. Achar o ponto I de intersecção da recta fronto-horizontal com a recta dada (Rebatimento);
4. A distância entre os dois pontos é a distância do ponto à recta.

• Dois planos paralelos 

1. Conduzir uma recta - p - qualquer, ortogonal aos dois planos;
2. Determinar os pontos de intersecção da recta p com cada um dos dois planos (se o plano for projectante, a determinação dos pontos é directa; se o plano for oblíquo recorre-se ao método geral de intersecções); 
3. A distância entre os dois pontos é a distância entre os dois planos.

Processo para a identificação da sombra própria de uma figura

Processo para a identificação da sombra própria de uma figura, consiste em, considerando um movimento rotativo qualquer, fazer a sequência dos vértices da figura e da figura-sombra a partir de um mesmo vértice e analisar as duas sequências:

• Se as duas sequências apresentarem os vértices correspondentes pela mesma ordem, a face visível da figura está iluminada;

• Se as duas sequências apresentarem os vértices correspondentes por ordens diferentes, a face visível da figura está sombreada (em sombra própria).

Processo para identificar a sombra projectada de um círculo, considerando a d.l.c.

1. Traçar um raio luminoso passante, considerando a direção luminosa convencional (d.l.c.). As projeções horizontal e frontal da d.l.c. fazem as duas 45º (a.e);
2. Achar o ponto I, de interseção do raio luminoso com o plano que contém o círculo;
3. Analisar a posição da recta i, fronto-horizontal, que contém o ponto I:

•  Se a recta i for exterior ao círculo e próxima do eixo x, a sombra projectada vai ser um círculo;

•  Se a recta i for exterior ao círculo e afastada do eixo x, a sombra projectada vai ser uma elipse; 

• Se a recta i intersectar o círculo, os pontos onde intersecta serão os pontos de quebra, depois determina-se as suas sombras.

Projeção de pirâmides com bases contidas em planos oblíquos (altura)

A partir da representação da figura da base (através do processo auxiliar mais conveniente) determina-se a construção das projeções da pirâmide.

1. O vértice da pirâmide é um ponto do eixo do sólido e a pirâmide é regular pelo que o eixo está contido na recta ortogonal ao plano da base e que passa pelo centro da figura da base;
2. Faz-se passar por essa recta um plano auxiliar projetante, de tôpo ou vertical, para permitir o seu rebatimento simples (rebate-se o O, centro, e outro ponto da recta);
3. Na recta rebatida marca-se a altura da pirâmide, obtendo o vértice da mesma, ponto V;
4. Contra-rebate-se o V e une-se aos pontos da base

 Nota: Não esquecer as invisibilidades. =)

Tipos de seções produzidas num cilindro

1. Analisa-se a posição do plano secante relativamente aos planos das bases:

• Se o plano secante é paralelo aos planos das bases, a figura de seção é uma circunferência;

•  Se o plano secante não é paralelo aos planos das bases, passa-se para a análise seguinte: 

2. Analisa-se a posição do plano secante relativamente ao eixo do cilindro: 

• Se o plano secante é paralelo ao eixo do cilindro, figura de seção é um paralelogramo (rectângulo ou não);

•  Se o plano secante não é paralelo ao eixo do cilindro, figura de seção é uma elipse.*Se o plano secante intersectar a base do cone, a secção será apenas parte da elipse.

Processo para a identificação do tipo de seção produzida num cone

Método:

1. Conduzir pelo vértice do cone, um plano Φ, paralelo ao plano secante;
2. Determinar a recta i, de interseção de Φ com o plano da base do cone:
3. Analisar a posição da recta i, em relação à base do cone:

• Se i for exterior à base do cone - a figura de seção é uma elipse;

•  Se i for tangente à base do cone - a figura de seção é uma parábola;

• Se i for secante à base do cone - a figura de seção é uma hipérbole;

Nota: Se o plano for oblíquo, necessita-se de uma recta auxiliar, frontal ou horizontal, do plano.

Perpendicularidades e Ortogonalidades

Perpendicularidade e Ortogonalidade entre:

• Duas rectas 

Ao contrário do que acontece com as rectas paralelas, duas rectas perpendiculares ou ortogonais no espaço podem não ter as projecções perpendiculares entre si. Do mesmo modo, duas rectas cujas projecções sejam perpendiculares entre si podem não ser ortogonais ou ortogonais no espaço.

a | b  Se  a₁ | b₁  e  a₂//x (Horizontal)

                 ou  a₂ | b₂  e  a₁//x (Frontal)

• Rectas oblíquas ortogonais entre si:  

Uma recta oblíqua é ortogonal a outra recta oblíqua se pertencer a um plano ortogonal a essa recta.
Uma recta ortogonal a um plano é ortogonal a todas as rectas desse plano; logo se um plano é ortogonal a uma recta, todas as rectas desse plano são ortogonais à recta dada.

1. Faz-se passar pelo ponto um plano ortogonal à recta dada, utilizando uma recta auxiliar, frontal ou horizontal.   
2. Qualquer recta desse plano é ortogonal à recta dada (condição de pertença).  

• Uma Recta e um Plano / Um Plano e uma Recta

Uma recta é ortogonal a um plano quando é ortogonal a todas as rectas do plano, inclusive aos seus traços.

Um plano é ortogonal a uma recta quando todas as rectas do plano são ortogonais a essa recta.

a | π  Se  a₁ | π  e  a₂ | fπ

Caso Particular:

• Planos de rampa

No caso dos planos de rampa, uma recta que lhe é ortogonal só pode ser de perfil, mas nem todas as rectas de perfil são ortogonais a todos os planos de rampa. Então, temos que desenhar uma recta do plano em V. G. (Verdadeira Grandeza) e a recta que lhe é ortogonal deve ser ortogonal a essa recta.

1. Desenhar as projecções da recta de perfil - p; 
2. Fazer passar pela recta um plano de perfil - π; 
3. Achar a recta de intersecção do plano de perfil com o plano de rampa - i; 
4. Achar a verdadeira grandeza de p e i (Rebatimento para P.H.P. ou para P.F.P.). 

Nota: A recta i pertence ao plano de rampa, logo faz-se passar uma recta - p - ortogonal a i.

• Dois planos
  Dois planos são ortogonais se e só se um deles contiver uma recta ortogonal ao outro plano.
  π | α  Se  π C a  e  a | α

Ângulos

Ângulos entre:

• Duas rectas: 

• Concorrentes 

Determinar a V. G. (Verdadeira Grandeza) 

• Enviesadas

Traçar uma recta paralela a uma das rectas e concorrente com a outra. 
Determinar a V. G. (Verdadeira Grandeza) 

• Uma recta e um plano

• Método do ângulo complementar:

1. Conduzir, por um ponto qualquer da recta, uma recta - p - ortogonal ao plano;
2. Determinar o ângulo formado entre as duas rectas;
3. O ângulo entre a recta dada e a recta ortogonal é o ângulo complementar do ângulo entre a recta dada e o plano dado.
   

• Dois planos 

Por um ponto qualquer exterior aos dois planos, fazemos passar duas rectas perpendiculares ou ortogonais. O ângulo entre as duas rectas é igual ao ângulo entre os dois planos.

Método dos planos paralelos à base

1. Conduzir um plano auxiliar, qualquer, paralelo ao plano da base do cone.
2. Determinar a figura de secção que o plano auxiliar produz na superfície lateral do sólido - a secção será necessariamente, uma circunferência.
3. Determinar a recta - i - de intersecção do plano secante  (o plano dado) com o plano auxiliar.
4. Determinar os pontos de intersecção da recta i com a circunferência que são, imediatamente, dois pontos da secção que o plano produz no sólido.

Secção produzida num sólido através de um plano oblíquo ou de rampa

Quando a secção produzida num sólido é através de um plano oblíquo ou de rampa:

• Utiliza-se o método geral das intersecções;

• Começando pelos planos da base e seguindo por cada uma das arestas laterais; 

• Essas rectas i, vão intersectar ou não as bases e as arestas, resultando daí os pontos da secção.

Tipos de Rectas

Rectas Paralelas ao Plano Horizontal de Projecção ()

• Fronto-Horizontal

• Horizontal

• De topo

Rectas Paralelas ao Plano Frontal de Projecção ()

• Fronto-Horizontal

• Frontal

• Vertical

 

Rectas Oblíquas

• Oblíquo - Oblíquo aos dois planos de projecção e ao eixo x;

• De Perfil - Oblíquo aos dois planos de projecção e perpendicular ao eixo x.

Método do Triângulo do Rebatimento

Triângulo do rebatimento é o método mais favorável quando se pretende rebater apenas um ponto ou duas rectas concorrentes nesse ponto.

1. Fazer passar um plano auxiliar projectante, frontal ou horizontal, que intersecta as duas rectas segundo dois pontos; 
2. Esses pontos já definem a charneira;
3. Pelo ponto exterior à charneira, comum às duas rectas, faz-se passar uma recta paralela e outra perpendicular à charneira;
4. Na paralela, marca-se a distância do ponto ao plano auxiliar;
5. Esse ponto da paralela, o ponto P (dado) e o ponto de intersecção com a charneira, definem um triângulo - triângulo do rebatimento;
6. Com a ponta do compasso no ponto de intersecção da perpendicular com a charneira, abertura do tamanho da hipotenusa, traça-se um arco de circunferência, que intersecta a perpendicular, no ponto P rebatido.

Intersecções de rectas com planos

Da intersecção de uma recta com um plano vai resultar um ponto - I.

• Se o plano for projectante (frontal, horizontal, vertical, de topo ou de perfil), o ponto I vai surgir de imediato, quando a recta intersectar o plano.

• Se o plano for oblíquo, temos que recorrer ao método geral de intersecções.

 

Método geral de intersecções de rectas com planos (oblíquos) 

1. Faz-se passar pela recta um plano auxiliar projectante, de topo ou vertical;
2. Determina-se a recta - i - de intersecção desse plano auxiliar com o plano dado; 
3. Onde esta recta - i - intersectar a recta dada, obtém-se o ponto - I - de intersecção da recta com o plano dado.

Pontos Notáveis de uma recta

Existem 4 pontos notáveis (importantes) de uma recta.

Sempre que uma recta intersecta um plano de projecção, esta vai mudar de diedro.

• Se intersectar o plano frontal de projecção esse ponto da recta vai ter afastamento nulo e vai chamar-se ponto F - traço frontal.

• Se intersectar o plano horizontal de projecção esse ponto da recta vai ter cota nula e vai chamar-se ponto H - traço horizontal.

Além destes pontos a recta tem outros 2 pontos notáveis, quando intersecta o β¹/₃ e o β²/₄.

•  Se intersectar o β¹/₃ esse ponto da recta vai ter cota igual ao afastamento com sinais iguais e vai chamar-se ponto Q (desenha-se uma recta auxiliar passando por F₂ e H₁, onde cruza o eixo x é Q₀, depois conduz-se a linha de chamada do ponto que estão sobre as homónimas da reta).

• Se intersectar o β²/₄ esse ponto da recta vai ter cota igual ao afastamento com sinais contrários e vai chamar-se ponto I (onde as projeções da reta se cruzam, I₁ coincidente com I₂).