Planos Tangentes a uma Superfície Cilíndrica, passando por um Ponto Exterior

1. Conduzir pelo ponto P, uma recta paralela às geratrizes da superfície - essa recta é a recta i, que é a recta de interseção dos dois planos;
2. Determinar o ponto de intersecção dessa recta com o plano da base - ponto I;
3. Conduzir por I as rectas tangentes à base do cone - t' e t'' (pontos de tangência destas rectas com a base - T' e T'' - são os pontos em que os planos - θ₁ e θ₂ - são tangentes à base);
4. Determinar as geratrizes de contacto (ou de tangência) que contêm T' e T''- g' e g'', respectivamente;
5. Os planos tangentes - θ₁ e θ₂ - ficam definidos por 3 rectas: 

• θ₁ está definido por i, t’ e g’ 
• θ₂ está definido por i’’, t’’ e g’’

Determinar a Altura de um Sólido com Bases contidas num Plano Passante

1. Determinar a recta p, que passa por um dos vértices e é ortogonal ao plano da base;
2. Por essa recta, faz-se passar um plano projectante (perfil);
3. Da interseção deste plano com o plano da base resulta uma recta i, também ela de perfil, passante;
4. Passando pelo vértice da base rebatida, uma recta perpendicular à recta i rebatida, obtém-se a recta p rebatida e sobre esta marca-se a altura.

Distâncias

Distâncias entre:

As distâncias são sempre medidas na perpendicular.

• Dois pontos 

Achar a verdadeira grandeza.

Nos dois seguintes casos a distância entre os dois pontos já está em verdadeira grandeza:

• Se os pontos têm o mesmo afastamento, o segmento de recta é frontal e a distância entre os pontos projecta-se em V. G. (Verdadeira Grandeza) no P. F. P. (Plano Frontal de Projecção). 

• Se os pontos têm a mesma cota, o segmento de recta é horizontal e a distância entre os pontos projecta-se em V. G. (Verdadeira Grandeza) no P. H. P. (Plano Horizontal de Projecção).

• Um ponto e um plano 

1. Faz-se passar pelo ponto P uma recta ortogonal ao plano; 
2. Essa recta vai intersectar o plano num ponto - I (se o plano for projectante, a determinação do ponto I é directa; se o plano for oblíquo recorre-se ao método geral de intersecções); 
3. A verdadeira grandeza do segmento PI é a distância do ponto ao plano.   

• Um ponto e uma recta

1. Conduzido pelo ponto, um plano ortogonal à recta dada (faz-se passar uma recta frontal ou horizontal pelo ponto dado, perpendicular à recta dada);
2. Determinar o ponto, I, de intersecção da recta dada com o plano (se o plano for projectante, a determinação do ponto I é directa; se o plano for oblíquo recorre-se ao método geral de intersecções); 
3. A distância entre os dois pontos é a distância do ponto I à recta.

• Excepção: Rectas de perfil

1. Pelo ponto conduz-se um plano ortogonal à recta (não é possível determinar os seus traços);
2. Faz-se passar uma recta fronto-horizontal pelo ponto, que pertence ao plano;
3. Achar o ponto I de intersecção da recta fronto-horizontal com a recta dada (Rebatimento);
4. A distância entre os dois pontos é a distância do ponto à recta.

• Dois planos paralelos 

1. Conduzir uma recta - p - qualquer, ortogonal aos dois planos;
2. Determinar os pontos de intersecção da recta p com cada um dos dois planos (se o plano for projectante, a determinação dos pontos é directa; se o plano for oblíquo recorre-se ao método geral de intersecções); 
3. A distância entre os dois pontos é a distância entre os dois planos.

Processo para a identificação da sombra própria de uma figura

Processo para a identificação da sombra própria de uma figura, consiste em, considerando um movimento rotativo qualquer, fazer a sequência dos vértices da figura e da figura-sombra a partir de um mesmo vértice e analisar as duas sequências:

• Se as duas sequências apresentarem os vértices correspondentes pela mesma ordem, a face visível da figura está iluminada;

• Se as duas sequências apresentarem os vértices correspondentes por ordens diferentes, a face visível da figura está sombreada (em sombra própria).

Processo para identificar a sombra projectada de um círculo, considerando a d.l.c.

1. Traçar um raio luminoso passante, considerando a direção luminosa convencional (d.l.c.). As projeções horizontal e frontal da d.l.c. fazem as duas 45º (a.e);
2. Achar o ponto I, de interseção do raio luminoso com o plano que contém o círculo;
3. Analisar a posição da recta i, fronto-horizontal, que contém o ponto I:

•  Se a recta i for exterior ao círculo e próxima do eixo x, a sombra projectada vai ser um círculo;

•  Se a recta i for exterior ao círculo e afastada do eixo x, a sombra projectada vai ser uma elipse; 

• Se a recta i intersectar o círculo, os pontos onde intersecta serão os pontos de quebra, depois determina-se as suas sombras.

Projeção de pirâmides com bases contidas em planos oblíquos (altura)

A partir da representação da figura da base (através do processo auxiliar mais conveniente) determina-se a construção das projeções da pirâmide.

1. O vértice da pirâmide é um ponto do eixo do sólido e a pirâmide é regular pelo que o eixo está contido na recta ortogonal ao plano da base e que passa pelo centro da figura da base;
2. Faz-se passar por essa recta um plano auxiliar projetante, de tôpo ou vertical, para permitir o seu rebatimento simples (rebate-se o O, centro, e outro ponto da recta);
3. Na recta rebatida marca-se a altura da pirâmide, obtendo o vértice da mesma, ponto V;
4. Contra-rebate-se o V e une-se aos pontos da base

 Nota: Não esquecer as invisibilidades. =)

Tipos de seções produzidas num cilindro

1. Analisa-se a posição do plano secante relativamente aos planos das bases:

• Se o plano secante é paralelo aos planos das bases, a figura de seção é uma circunferência;

•  Se o plano secante não é paralelo aos planos das bases, passa-se para a análise seguinte: 

2. Analisa-se a posição do plano secante relativamente ao eixo do cilindro: 

• Se o plano secante é paralelo ao eixo do cilindro, figura de seção é um paralelogramo (rectângulo ou não);

•  Se o plano secante não é paralelo ao eixo do cilindro, figura de seção é uma elipse.*Se o plano secante intersectar a base do cone, a secção será apenas parte da elipse.

Processo para a identificação do tipo de seção produzida num cone

Método:

1. Conduzir pelo vértice do cone, um plano Φ, paralelo ao plano secante;
2. Determinar a recta i, de interseção de Φ com o plano da base do cone:
3. Analisar a posição da recta i, em relação à base do cone:

• Se i for exterior à base do cone - a figura de seção é uma elipse;

•  Se i for tangente à base do cone - a figura de seção é uma parábola;

• Se i for secante à base do cone - a figura de seção é uma hipérbole;

Nota: Se o plano for oblíquo, necessita-se de uma recta auxiliar, frontal ou horizontal, do plano.

Perpendicularidades e Ortogonalidades

Perpendicularidade e Ortogonalidade entre:

• Duas rectas 

Ao contrário do que acontece com as rectas paralelas, duas rectas perpendiculares ou ortogonais no espaço podem não ter as projecções perpendiculares entre si. Do mesmo modo, duas rectas cujas projecções sejam perpendiculares entre si podem não ser ortogonais ou ortogonais no espaço.

a | b  Se  a₁ | b₁  e  a₂//x (Horizontal)

                 ou  a₂ | b₂  e  a₁//x (Frontal)

• Rectas oblíquas ortogonais entre si:  

Uma recta oblíqua é ortogonal a outra recta oblíqua se pertencer a um plano ortogonal a essa recta.
Uma recta ortogonal a um plano é ortogonal a todas as rectas desse plano; logo se um plano é ortogonal a uma recta, todas as rectas desse plano são ortogonais à recta dada.

1. Faz-se passar pelo ponto um plano ortogonal à recta dada, utilizando uma recta auxiliar, frontal ou horizontal.   
2. Qualquer recta desse plano é ortogonal à recta dada (condição de pertença).  

• Uma Recta e um Plano / Um Plano e uma Recta

Uma recta é ortogonal a um plano quando é ortogonal a todas as rectas do plano, inclusive aos seus traços.

Um plano é ortogonal a uma recta quando todas as rectas do plano são ortogonais a essa recta.

a | π  Se  a₁ | π  e  a₂ | fπ

Caso Particular:

• Planos de rampa

No caso dos planos de rampa, uma recta que lhe é ortogonal só pode ser de perfil, mas nem todas as rectas de perfil são ortogonais a todos os planos de rampa. Então, temos que desenhar uma recta do plano em V. G. (Verdadeira Grandeza) e a recta que lhe é ortogonal deve ser ortogonal a essa recta.

1. Desenhar as projecções da recta de perfil - p; 
2. Fazer passar pela recta um plano de perfil - π; 
3. Achar a recta de intersecção do plano de perfil com o plano de rampa - i; 
4. Achar a verdadeira grandeza de p e i (Rebatimento para P.H.P. ou para P.F.P.). 

Nota: A recta i pertence ao plano de rampa, logo faz-se passar uma recta - p - ortogonal a i.

• Dois planos
  Dois planos são ortogonais se e só se um deles contiver uma recta ortogonal ao outro plano.
  π | α  Se  π C a  e  a | α

Derivada da Função Módulo

A derivada da função módulo ou valor absoluto f(x) = |x|

| h(x)   se x ≥ 0 

f(x) =| 

| - h(x) se x < 0

| h(x)   se x > 0 

f'(x) =| 

| - h(x) se x < 0

Para x = 0 não existe derivada, porque é um ponto anguloso, diz-se que a função f' não está definida.

Nota: A derivada de uma função que envolve módulos, só será obtida após a decomposição dos módulos em ramos da função.

Derivada e Extremos de uma função

A existência ou não de extremos de uma função está relacionada com a variação de sinal da função derivada.

Seja c a abcissa de um ponto onde f é contínua tal que f'(c) = 0 ou f'(c) não existe.

• Se f ' mudar de positiva para negativa em c, então f(c) é um máximo relativo
• Se f ' mudar de negativa para positiva em c, então f(c) é um míniimo relativo
• Se f '(x) > 0 ou f '(x) < 0 para todo o x de um intervalo, excepto para x = c, então f(c) NÃO é um extremo relativo de f

Num intervalo aberto ]a,b[, os extremos relativos podem surgir:

• nos zeros da função derivada, desde que haja mudança de sinal
• nos pontos onde não há derivada, desde que as derivadas laterais tenham sinais contrários.

Sinal da Derivada e Sentido de Variação

Estudar o sinal da derivada e o sentido de variação de uma função:

1. Domínio da função: Df = (...)
2. Função derivada da função f: f'(x) = (...)
3. Domínio da função derivada: Df' = (...) 
4. Zeros da função derivada: f'(x) = 0
5. Quadro de variação, onde se colocam os zeros da derivada e as abcissas dos pontos onde a função não está definida.

• Se a derivada for positiva, f'(x) > 0, ∀x ∈ ]a,b[ , então f é estritamente crescente em ]a,b[

• Se a derivada for negativa, f'(x) < 0, ∀x ∈ ]a,b[ , então f é estritamente decrescente em ]a,b[

• Se a derivada for nula, f'(x) = 0, ∀x ∈ ]a,b[ , então f é constante em ]a,b[   

     7. Intervalos de Monotonia: f é crescente em (...), f é decrescente em (...), f é constante em (...)

Nota: Estudar o sentido de variação de uma função é determinar os intervalos em que a função é crescente, em que é decrescente e em que é constante, ou seja, é determinar os intervalos de monotonia da função.

Derivadas de Funções Racionais

A derivada da:

• função afim f(x) = m x + b é a função f'(x) = m 

Em particular: 

A derivada da:

•  função constante f(x) = k, k ∈ |R, é a função f'(x) = 0 - a derivada  é nula

•  f(x) = m x é a função f'(x) = m

• função quadrática f(x) = ax² + bx + c, a ≠ 0 é a função f'(x) = 2ax + b 

Em particular: 

• A derivada de f(x) = ax², a ≠ 0 é a função f'(x) = 2ax

• função cúbica f(x) = ax³ + bx² + cx + d, a ≠ 0 é a função f'(x) = 3ax² + bx + c 
  
  Em particular:  

•  A derivada de f(x) = ax³, a ≠ 0 é a função f'(x) = 3ax²

•  soma de duas funções é igual à soma das derivadas de cada uma das funções.

• função racional do tipo f(x) = a / x, a ≠ 0 é a função f'(x) = - (a / x²)

Taxa de Varição de uma função em x = x₀

No caso geral, dada uma função f, real de variável real, em x = x₀ é o número real, caso exista, para que tende o quociente (f(x₀ + h) - f(x₀)) / h, quando h tende para zero, e representa-se por f'(x₀) ou (df / dx) x=x₀

Assim,

f'(x₀) = lim->0 ((f(x₀ + h) - f(x₀)) / h

A f'(x₀) também se chama derivada da função f no ponto de abcissa x₀.


A derivada f'(x) do ponto de abcissa x = x₀ é o declive m da recta tangente ao gráfico de f.

Variação e Taxa Média de Variação de uma Função

Variação de uma Função

A variação de uma função f num intervalo [a , b], a < b, é igual a f(b) - f(a)

Taxa Média de Variação de uma Função

A taxa média de variação (t.m.v.) de uma função f num intervalo [a , b], a < b, é igual à variação da função (f(b) - f(a)) a dividir pela variação da variável nesse intervalo (b-a) ou seja:

t.m.v.[a,b] = (f(b) - f(a)) / (b-a)

A taxa de variação média traduz a rapidez de variação da função num certo intervalo.

Se a função em estudo relaciona o espaço com o tempo, a taxa média de variação corresponde ao que correntemente se designa por velocidade média. 

Significado geométrico da Taxa de Variação de uma Função f num intervalo [a,b]

α representa a inclinação da recta s que contém os pontos A e B do gráfico de f.

mAB = tg α = (f(b) - f(a)) / (b-a) = t.m.v.[a,b] 

A taxa média de variação de uma função f num intervalo [a , b] representa geometricamente o declive da recta AB, secante ao gráfico da função f, que passa pelos pontos A(a, f(a)) e B(b, f(b)).

• Se f é estritamente crescente em [a,b], então t.m.v.[a,b] > 0

• Se f é estritamente decrescente em [a,b], então t.m.v.[a,b] < 0

• Se f é constante em [a,b], então t.m.v.[a,b] = 0 

As afirmações recíprocas são falsas.

Função Inversa e suas Assimptotas

Sendo f e f ^-1, funções inversas uma da outra, então elas satisfazem a seguinte condição:

Se f(a) = b, então f ^-1(b) = a 

Se o ponto de coordenadas (a,b) pertence ao gráfico de f, então o ponto de coordenadas (b,a) pertence ao gráfico da função de f ^-1.

Os pontos são simétricos à bissectriz dos quadrantes ímpares. 

• Df ^-1 = D'f 

• D'f ^-1 = Df 

• y = f(x) ⇔ x = f ^-1(y), ∀x ∈ Df, ∀y ∈ Df^-1

Uma função admite inversa se e só se for injectiva. 

•  Assimptotas da função f e da sua inversa

 Há uma troca de assimptotas. 

• Se o gráfico de uma função tiver uma assimptota vertical x = a, o gráfico da sua inversa terá uma assimptota horizontal y = a.

• Se o gráfico de uma função tiver uma assimptota horizontal y = b, o gráfico da sua inversa terá uma assimptota vertical x = b.

Nota: Não confundir f ^-1 (função inversa de f) com 1/f (função inverso matemática de f).

• Definição de Restrição 

Sendo A um conjunto contido no domínio de uma função g, diz-se que uma função f é a restrição ao conjunto A, se e só se:

• Df C A

• f(x) = g(x), ∀x ∈ A

Resumo de "Os Maias"

• Capítulo I

        Inicia-se com a descrição do Ramalhete, a «casa que os Maias vieram habitar em Lisboa, no Outono de 1875», situando no espaço e no tempo aquela que será a intriga principal. Esta é interrompida e há um recuo no tempo - 1820. Conhece-se então a juventude de Afonso da Maia, o seu casamento com Maria Eduarda Runa, o nascimento de Pedro, o exílio da família em Inglaterra por motivos políticos, a educação tradicional portuguesa ministrada a Pedro contra a vontade Afonso, o regresso da família Portugal, a morte de Maria Eduarda Runa, os amores de Pedro e de Maria Monforte, a oposição de Afonso ao enlace do filho com Maria Monforte e a ruptura entre pai e filho após o casamento deste com Maria Monforte.

• Capítulo II

       Pedro e Maria Monforte viajam por Itália e Paris em lua-de-mel; após o regresso do casal a Portugal, Maria Monforte, grávida, pressiona Pedro a reatar relações com o pai que se mantém inacessível. Entretanto nasce Maria Eduarda; Pedro da Maia e Maria Monforte vivem faustosamente. Segue-se o nascimento de Carlos Eduardo. Mais tarde, por intermédio do marido, Maria Monforte conhece Tancredo com quem acaba por fugir, levando a filha com ela. Pedro, desesperado, reconcilia-se com o pai, deixa Carlos aos seus cuidados e suicida-se. Afonso, abatido com a desgraça familiar, vai viver com o neto para Santa Olávia.

• Capítulo III

        Afonso da Maia e o neto vivem felizes em Santa Olávia, onde recebem assiduamente vários amigos. Vilaça visita-os, comove-se com a cumplicidade entre avô e neto, conversa com as Silveira sobre a educação ministrada a Carlos, totalmente diferente da imposta a Eusébiozinho que, a pedido da mãe, recita um poema ultra-romântico. No final da noite, Vilaça informa Afonso sobre a situação de Maria Monforte e entrega-lhe uma carta remetida por Alencar. Afonso mostra interesse em recuperar a neta e dá conta ao procurador da carta que Pedro escrevera na noite em que se suicidara. Mais tarde, Vilaça escreve a Afonso, comunicando-lhe que, segundo o que Maria Monforte dissera a Alencar, a sua neta morrera em Londres, o que Afonso não consegue, de facto, comprovar. Depois disso, Vilaça morre e o filho assume as funções de procurador da família Maia. Entretanto Carlos da Maia faz o seu primeiro exame com distinção.

• Capítulo IV

       É retratado o período de formação académica de Carlos, em Coimbra, no curso de Medicina, vocação já manifestada na infância. Evidencia-se: o carácter diletante de Carlos, as reuniões intelectuais em seu redor, a prática de actividades diversas e a vivência de casos amorosos fugazes. Carlos termina o seu curso e viaja, durante um ano, pela Europa.

       A acção principal, nesse Outono de 1875 é retomada: Afonso encontra-se instalado no Ramalhete, aguardando ansiosamente a chegada do neto, no paquete Royal Mail. Há um jantar em honra de Carlos. Após a sua acomodação, Carlos traça vários planos de trabalho, contudo dispersos; e aluga o primeiro andar no Rossio onde instala luxuosa e requintadamente o seu consultório, faltando-lhe, no entanto, doentes. Ega visita-o no consultório e ambos falam sobre os seus projectos. Carlos incita o amigo a aparecer no Ramalhete, dizendo-lhe em linhas gerais como e com quem passa aí o tempo. Ega propõe a Carlos a organização de um Cenáculo, falha-lhe de Craft com admiração e comunica-lhe a intenção de publicar as Memórias de um Átomo.

• Capítulo V

        Os amigos da família frequentam o Ramalhete, durante o serão: joga-se bilhar, cartas e conversa-se. Vilaça confidencia a Eusebiozinho que os maias desperdiçam dinheiro inutilmente. Carlos, quase sem pacientes, dispersa-se nas suas actividades. Entretanto, ganha « a primeira libra» da família que é adquirida através do trabalho. Ega, enamorado de Raquel Cohen, leva uma vida dândi. Em sequência da leitura de um excerto de Memórias de um Átomo, na casa dos Cohen, Ega é elogiado na Gazeta do Chiado. Carlos, investigado por Ega, vai em vão ao Teatro de S. Carlos com o intuito de ver a condessa de Gouvarinho. Já em casa, no quarto, obtém de Baptista informações sobre os Gouvarinho. Carlos é apresentado, no Teatro de S. Carlos, por Ega ao Conde de Gouvarinho e conhece a esposa.

• Capítulo VI

        Carlos visita Ega de surpresa, na Vila Balzac, ninho dos seus amores com Raquel Cohen. Inconscientemente, Ega augura um futuro amoroso trágico para Carlos. Este é apresentado por Ega a Craft, quando casualmente se encontram na entrada do Largo da Graça. Sucede-se o jantar no Hotel Central, organizado por Ega em honra de Cohen. No peristilo do Hotel Central, Carlos, na companhia de Craft, vê Maria Eduarda pela primeira vez e fica deslumbrado. Dâmaso é apresentado por Ega a Carlos; aquele fala sobre os Castro Gomes e sobre o seu tio Guimarães. Ega apresenta Alencar a Carlos , o qual afirma ter sido um grande amigo de seu pai, Pedro da Maia. Cohen chega atrasado, Ega recebe-o com euforia e apresenta-o a Carlos. Durante o jantar, a conversa recai sobe a literatura - Alencar defende o Ultra-Romantismo, Ega o Naturalismo, Craft critica o Realismo, Carlos reage contra o Naturalismo - e as finanças nacionais - a inevitável bancarrota do país. Entretanto, Ega e Alencar desentendem-se violentamente numa discussão literária, acabando, contudo, por se reconciliar. Após o jantar, Carlos e Alencar caminham juntos e este fala sobre o seu passado. Já em casa, Carlos relembra o que Ega certo dia, completamente embriagado, lhe revelara sobre a mãe e o que a seu pedido, mais tarde, o avô lhe contara, nomeadamente a morte da mãe e da irmã em Viena. Nessa noite Carlos sonha com Maria Eduarda.

• Capítulo VII

        Depois do almoço, Afonso e Craft jogam uma partida de xadrez. Carlos tem poucos doentes e vai trabalhando no seu livro. Dâmaso, à semelhança de Craft, torna-se íntimo da casa dos Maias, seguindo Carlos por todo o lado e procurando emita-lo. Ega anda ocupado com a organização de um baile de máscaras na casa dos Cohen. Carlos, na companhia de Steinbroken em direcção ao Aterro, vê, pela segunda vez, Maria Eduarda acompanhada do marido. Carlos desloca-se várias vezes, durante a semana, ao Aterro na Esperança de ver novamente Maria Eduarda. A Condessa de Gouvarinho, com a desculpa que o filho se encontra doente, procura Carlos no consultório. Ao serão, no Ramalhete, joga-se dominó, ouve-se música e conversa-se. Carlos convida Cruges a ir a Sintra no dia seguinte, pois tomara conhecimento, por intermédio de Taveira, que Maria Eduarda aí se encontrava na companhia do marido e de Dâmaso.

• Capítulo VIII

        Carlos vai com Cruges a Sintra. Aquele procura Maria Eduarda discretamente. Ambos encontram, no Hotel Nunes, Eusebiozinho e Palma «Cavalão» na companhia de Lola e Concha, duas prostitutas espanholas. Carlos e Cruges decidem ir a Seteais em passeio; entretanto, encontram Alencar que os acompanha; sobretudo Cruges e Alencar apreciam e deslumbram-se perante aquela paisagem. De regresso a Sintra, Carlos dirige-se ao Hotel Lawrence e, desiludido, constata que Maria Eduarda já partira. Em monólogo interior, Carlos imagina Maria Eduarda «nas rendas do seu peignoir», em Lisboa. Depois de jantar, «na Lawrence», os três amigos partem para a capital.

• Capítulo IX

        Na ausência dos Castro Gomes, Dâmaso, aflito, leva Carlos ao Hotel Central, para consultar a filha de Maria Eduarda que adoecera. Enquanto aguarda no «gabinete toilette», Carlos observa atentamente os objectos pessoais de Maria Eduarda; entretanto, é levado à presença de Rosicler e conhece também Miss Sara. Nessa noite, Ega é expulso por Cohen do baile de máscaras e aquele pede a Carlos que vá com ele aos Olivais conversar com Craft, pois pretende desafiar Cohen para um duelo. Craft e Carlos procuram acalmar Ega, dissuadem-no da sua intenção e aconselham-no a esperar que Cohen o desafie. A Sr.ª Adélia, criada dos Cohen, chega com notícias: Raquel levara uma tareia do marido e reconciliara-se com ele. depois disto, Ega decide ir uns tempos para Celorico, onde vive a mãe, para fugir aos sacarmos de Lisboa. Em monólogo interior, Carlos reflecte sobre o fracasso dos projectos de Ega, considerando que também ele próprio, até ao momento, nada fizera produtivo. Carlos Vê novamente Maria Eduarda com o marido. Passa algum tempo na companhia dos Gouvarinho e acaba por se envolver com a Condessa.  

• Capítulo X

       Carlos vive uma aventura amorosa com a Gouvarinho. Ela quer fugir com ele, mas Carlos dissuade-a. Em conversa com o marquês, Carlos confidencia-lhe que Ega está a escrever uma comédia em cinco actos, O Lodaçal, para se vingar de Lisboa. Carlos avista Rosicler na companhia da mãe e cumprimenta-as, ficando novamente bastante perturbado com a beleza de Maria Eduarda. Em monólogo interior, Carlos idealiza uma visita à Quinta dos Olivais com os Castro Gomes. No Ramalhete conversa-se sobre as corridas: Afonso defende as touradas como «sport próprio» da «raça» portuguesa; o marquês apoia-o; Dâmaso considera que as corridas «outro chique». Carlos expõe a Dâmaso o seu plano de conhecer os Castro Gomes numa visita à Quinta dos Olivais; este, embora desconfiado, acede, comprometendo-se a fazer o convite ao casal e a dar conhecimento do eventual encontro a Carlos. Carlos e o marquês vêem Afonso a dar esmola a duas mulheres, o que o deixa embaraçado por ter sido surpreendido na «sua caridade». Segue-se o episódio das Corridas de Cavalos : Carlos e Craft vão juntos para o hipódromo; o ambiente é tristonho, acabrunhado, monótono e ocioso; há uma discussão à entrada do hipódromo entre um «dos sujeitos de flor ao peito» e um polícia; os dois amigos observam o ambiente em redor e dirigem-se para a tribuna onde encontram as mulheres; Carlos conversa com D. Maria da Cunha; o rei D. Carlos é anunciado pelo «Hino da Carta»; começam as corridas; continuam a chegar pessoas e Carlos, inquieto, procura Dâmaso e Maria Eduarda no meio da multidão; Carlos, Craft e Clifford bebem champanhe; instala-se a desordem no hipódromo; discretamente a condessa de Gouvarinho transmite a Carlos a sua intenção de ir ao aniversário do pai ao Porto e o plano que arquitectou para que ambos pudessem ficar uma noite juntos; fazem-se apostas para a corrida do «Grande Prémio Nacional» e Carlos, ao contrário do que seria de se esperar, ganha todas as apostas; finalmente, Carlos, encontra Dâmaso através do qual fica a saber que Castro Gomes partira para o Brasil e que Maria Eduarda estava instalada no primeiro andar de uma casa da mãe de Cruges; Carlos é forçado a aceder ao capricho da Gouvarinho; as corridas terminam e desaparece «todo o interesse fictício pelos cavalos»; Carlos sai sozinho do recinto e passa pela rua de S. Francisco, onde se situa a casa alugada de Maria Eduarda. Ao chegar ao Ramalhete, Carlos toma conhecimento por Craft, que as corridas acabaram com uma cena de murros; ao entrar em casa, um criado entrega-lhe uma carta de Maria Eduarda, na qual esta lhe pede para ir ver, na manhã seguinte, «uma pessoa da família» que se encontrava doente.

• Capítulo XI

       Carlos, na sua consulta a Miss Sara, conhece finalmente Maria Eduarda; ambos conversam e esta despede-se com um «até amanhã» que deixa Carlos radiante. Este, contrariado, vai ter com a Condessa à estação de Santa Apolónia; aqui encontra Dâmaso que ia a Penafiel em virtude do falecimento de um tio; inesperadamente, a Condessa aparece acompanhada pelo marido que, para gáudio de Carlos, assim lhe estraga «o plano» de pernoitar com a amante. Com a desculpa da doença de Miss Sara, Carlos convive diariamente com Maria Eduarda; fica a saber que ela considera Dâmaso «insuportável» e que conhece o tio deste (Guimarães) por intermédio da mãe. Novamente em Lisboa, Dâmaso visita Maria Eduarda que o recebe friamente. Ao ver Carlos na companhia de Maria, Dâmaso pede-lhe, mais tarde, explicações. Depois de o tranquilizar, Carlos informa-o sobre a chegada de Ega a Lisboa, no sábado seguinte, e Dâmaso diz-lhe que também os Cohen tinham regressado de Southamptom, dois dias antes.

• Capítulo XII

        Ega regressa a Lisboa, instala-se no ramalhete e confidencia a Carlos que a Condessa fala «constantemente, irresistivelmente, imoderadamente» dele. Em conversa com Afonso, Ega e Carlos justificam a sua inércia com a «prodigiosa imbecilidade nacional» e aquele, apercebe-se da falta de estímulo de ambos, incita-os a fazerem «alguma coisa». Segue-se o jantar em Casa do Gouvarinho: Carlos e Ega vão juntos ao jantar; a condessa recrimina Carlos devido às suas ausências e fá-lo saber que, por intermédio de Dâmaso, conhece as suas visitas assíduas à «brasileira» (Maria Eduarda). Durante o jantar, o Conde denuncia a sua ignorância e falta de memória; A Condessa «amuada com Carlos», dá toda a atenção a Ega; D. Maria da Cunha na sua conversa com Carlos tece criticas negativas a Ega; Sousa neto, acossado por Ega, revela-se ignorante relativamente a Proudhon; já reconciliada com Carlos, a Condessa simula um exame médico rápido ao filho e marca um encontro amoroso com ele. Na tarde seguinte, em visita a Maria Eduarda, Carlos declara-lhe o seu amor, que é correspondido, e ambos beijam-se pela primeira vez. Mediante o desejo de Maria Eduarda de viver num lugar mais recatado, com espaço ao ar livre, Carlos compra a Quinta dos Olivais a Craft; Afonso aprova o investimento, desconhecendo, contudo, o verdadeiro motivo do mesmo. Carlos conta a Ega o seu romance com Maria Eduarda e a sua intenção de fugir com ela; Ega sente que esta mulher seria «para sempre, o seu irreparável destino».

Capítulo XIII

        Carlos recebe uma carta da Condessa que, «num tom amargo», marca novo encontro com ele, ao qual este decide não comparecer. Ega conversa com Carlos e informa-o que Dâmaso o tem andado a difamar, bem como a Maria Eduarda, por todos os lugares frequentados por todas as pessoas importantes de Lisboa. Carlos vai aos Olivais proceder aos últimos preparativos para a visita que Maria Eduarda fará, no dia seguinte. De regresso ao Ramalhete, encontra Alencar que não via desde as corridas e confirma por este que Dâmaso o anda a difamar. Maria Eduarda visita os Olivais; ela e Carlos cometem incesto inconscientemente. No dia seguinte, festeja-se o aniversário de Afonso da Maia: Ega sabe pelo Marquês que Dâmaso tem sido visto na companheira de Raquel Cohen. A condessa procura Carlos e este separa-se dela definitiva e friamente.

• Capítulo XIV

        Afonso vai para Santa Olávia passar uns tempos. Maria Eduarda instala-se, com Rosicler e seus criados, nos Olivais. Ega vai para Sintra no encaço de Raquel Cohen. Carlos encontra Alencar à porta do Prince que o informa sobre a estada dos Cohen em Sintra e mostra-se interessado em apresentar Guimarães, o que Carlos adia para outra altura. Em monólogo interior, Carlos relembra o seu pai e projecta a fuga  com Maria Eduarda para Itália, mostrando-se apreensivo com a reacção do avô a esta «aventura absoluta». Carlos e Maria Eduarda encontram-se diariamente na Quinta dos Olivais (Toca) e refugiam-se, «numa intimidade mais livre» no quiosque japonês. Acidentalmente, Carlos descobre o envolvimento secreto de Miss Sara com um homem que «parecia jornaleiro», o que o deixa bastante surpreendido e «atordoado». Maria Eduarda visita o Ramalhete na companhia de Carlos; ela falhe-lhe de sua mãe; Ega chega de Sintra. Carlos visita Afonso em Santa Olávia. Castro Gomes vai ao ramalhete falar com Carlos e, em tom irónico, comunica-lhe que não é casado com Maia Eduarda, nem Rosicler é sua filha; Carlos fica transtornado e vai à Toca pedir explicações a Maria Eduarda que, humildemente, lhe revela toda a verdade reafirmando o seu amor por ele. Carlos, comovido, compreende e perdoa-lhe a omissão; pedindo-a em casamento.

• Capítulo XV

        No quiosque japonês, Maria Eduarda conta detalhadamente a Carlos o que conhece da sua vida passada. Dadas as circunstancias, e sobretudo para poupar Afonso a esse «desgosto», Ega convence Carlos a casar com Maria Eduarda apenas depois do falecimento do avô. Ega vai jantar com Carlos e Maria Eduarda à Toca e conversam sobre a ideia de criar um Cenáculo a uma revista que «dirigisse a literatura, educasse o gosto, levasse a politica, fizesse a civilização, remoçasse o carunchoso Portugal…»; Maria Eduarda, enlevada, apoia esta intenção. Após o primeiro convívio, cria-se um círculo de amizades que passa a frequentar a Toca. Carlos, incentivado por Maria Eduarda, recomeça a escrever artigos de Medicina para a Gazeta Médica. Segue-se o incidente relacionado com a Corneta do Diabo e A tarde. Ega envia a Carlos um bilhete, juntamente com a Corneta do Diabo na qual vinha uma notícia escandalosa sobre a sua vida pessoal, envolvendo também Maria Eduarda. Carlos e Ega procuram Palma «Cavalão», director do jornal, e este denuncia Dâmaso, como autor do artigo, e Eusebiozinho como seu intermediário. Egas e Cruges vão a casa de Dâmaso a fim de o desafiar para um duelo com Carlos devido ao artigo que tinha mandado publicar. Dâmaso opta por por escrever uma carta de desculpa a Carlos onde se declara bêbado. Afonso regressa de Santa Olávia, Carlos vê-se obrigado a deixar os Olivais e Maria Eduarda instala-se novamente na rua de S. Francisco. Depois de ver Dâmaso a conversar intimamente com Raquel no ginásio, onde decorria a festa de beneficência, Ega, despeitado e vingativo, faz publicar no jornal A Tarde a carta que este remetera a Carlos. O Governo cai, forma-se um novo Governo e o Conde de Gouvarinho é eleito ministro da pasta da Marinha. Dâmaso parte «para uma viagem de recreio a Itália».

• Capítulo XVI

        Ega e Carlos, este contrariado por deixar Maria sozinha, vão ao sarau da Trindade, no qual se destaca a oratória superficial e bajuladora de Rufino, o recital de Cruges e a declamação «patriótica» de Alencar… Guimarães é apresentado por Alencar a Ega; aquele pede-lhe explicações sobre a carta de seu sobrinho Dâmaso, que fora publicada no jornal A Tarde; ao saber toda a verdade, e concordando que o sobrinho é um mentiroso, troca» um rasgado aperto de mãos» com Ega. Carlos, ao avistar Eusebiozinho, vai ao seu encalço e, em virtude de este ter andado» metido nessa maroteira da Corneta», dá-lhe uma sova. Findo o sarau, Guimarães encontra Ega à porta do Hotel Aliança e diz-lhe que tem em seu poder um cofre de Maria Monforte, de quem fora íntimo em Paris, para entregar a Carlos ou à irmã; Ega aterrorizado descobre casualmente a verdadeira identidade de Maria Eduarda.

• Capítulo XVII

        Ega, transtornado com os acontecimentos do dia anterior, decide procurar Vilaça e encarrega-lo de revelar a verdadeira identidade de Maria Eduarda a Carlos. Este, angustiado com a fatídica notícia, interpela Afonso sobre o destino da sua irmã, neta de Afonso, e constata que Afonso também desconhece o que se passou. Carlos vai ter com Maria Eduarda a fim de lhe contar a desastrosa descoberta sobre as suas origens, mas irresistivelmente comete incesto de forma consciente. Afonso apercebe-se desta fraqueza do neto e morre com o desgosto. Depois do funeral de Afonso, Carlos refugia-se em Santa Olávia e encarrega Ega de revelar a verdade à irmã e de lhe pedir que esta parta para Paris. Ega encontra-se no dia seguinte com Maria Eduarda na estação de Santa Apolónia, ambos vão de viagem: ela segue para Paris e ele vai encontrar-se com Carlos em Santa Olávia. No Entroncamento despedem-se definitivamente.

• Capitulo XVIII

        Carlos e Ega fazem uma viagem pelo mundo, durante um ano e meio. Ega regressa a Portugal, mas Carlos instala-se em Paris. Em 1886, Carlos passa o Natal em Sevilha e, no inicio do novo ano, visita Portugal, reencontrando vários amigos com que combina um jantar no Bragança. Segue-se o episódio do passeio final dos dois amigos, durante a deambulação de Carlos e de Ega pela capital, destaca-se: a «estátua triste de Camões», Dâmaso, que entretanto casara e era enganado pela mulher, um obelisco «com borrões de bronze no pedestal», uma «geração nova e miúda que Carlos não conhecia, Charlie (filho da Condessa de Giouvarinho) a vaguear numa vitória «com lentidão e estilo» e Eusébio que casara com uma «avantesma» que « o derreia à pancada». os dois amigos vão ao Ramalhete e entristecem-se com o seu estado de degradação e abandono. Ambos concluem que falharam e Ega afirma que são «Românticos: isto é, indivíduos inferiores que se governam na vida pelo sentimento, e não pela razão…»; Carlos declara que a sua teoria de vida se baseia no «fatalismo muçulmano. Nada desejar e nada recear… Não se abandonar a uma esperança - nem a um desapontamento. Tudo aceitar, o que vem e o que foge, com a tranquilidade com que se acolhem as naturais mudanças de dias agrestes e de dias suaves». O capítulo termina com os dois amigos - que segundos antes afirmavam que «não vale a pena fazer um esforço, correr com ânsia para coisa alguma» - a correrem desesperadamente para apanhar o americano (eléctrico), a fim de chegarem a tempo ao convívio marcado com «os rapazes» no Bragança.

Retirado de: http://osmaias.blogs.sapo.pt/